[논문정리 ] Camber Angle Inspection for Vehicle Wheel Alignments

💡

차량의 wheel alignments을 위한 camber angle 검사(MCU 기반3축 가속도 센서)

• MCU = micro-control unit

wheel alignment의 중요성

• Camber angle
  • 조향 제어와 안정성에 영향

• Toe angle
  • 연료 효율성, tire lifespan, driving comfort에 영향을 줌.

접근 방법

• MCU기반 접근방식은 3축 가속도 센서를 이용해 중력값을 획득하고, camber 검사 시스템와 차량간의 좌표변환을 적용시킴

• 캠버 시스템의 오정렬 각도를 자체적으로 보상할 수 있으므로, X축과 Z의 캠버축 완벽한 각도 조절이 필요하지 않음.

• 본 논문에서의 데카르트 좌표 C의 구성요소를 다음과 같이 표현함

  $$\begin{pmatrix}x_C \\y_C \\z_C\end{pmatrix}_C = [\vec{i_C} \ \vec{j_C} \ \vec{k_C}]\begin{bmatrix}x_C \\y_C \\z_C\end{bmatrix}$$

  • $\vec{i_C}$ : 직교좌표 C의 x축 unit vector
  • $\vec{j_C}$ : 직교좌표 C의 y축 unit vector
  • $\vec{k_C}$ : 직교좌표 C의 z축 unit vector

• $(x_C, y_c, z_C)^T_C$ : 직교좌표 C의 벡터를 나타냄

• $[x_C, y_C, z_C]^T$ : 벡터에 따른 3x1 매트릭스

• 이 논문에서 C는 차량, 바퀴, 가속도계 또는 캠버 검사 시스템이 될 수 있음.

차량과 캠버 검사 시스템의 좌표 변환

• 캠버 검사 시스템은 좌표 S의 캠버 검사 시스템에서 로컬 중력(1g = 9.8m/s2와 같지는 않음)를 감지 할 수 있지만, 로컬중력은 차량좌표 V의 아래쪽에만 있음.

• 좌표 V와 S사이의 좌표 변환은 로컬 중력이 좌표 V와 S에 따라 다른 표현을 가진 동일한 벡터임
  • 캠버측정을 위한 계산을 용이하게 함.
  • 그림 2는 좌표 V를 보여줌
    • 좌표V의 x, y, z축은 각각 전방, 우측, 하향으로 정의됨.

    

    front view of the vehicle and wheel coordinates with the pitch (camber) angle

  • 시스템 주축과 정렬된 좌표 S의 x,y, z.

    ⇒ 좌표 S을 이용해 캠버각도 측정

    

    right side view of the front-right wheel and the camber inspection system with yaw angles.

  • pitch각도와 yaw각도를 포함하여 좌표 V와 S사이의 오일러 각은 좌표 변환에 필요함.
    • camber각도는 분명히 pitch 각도 $\theta$임
    • yaw 각도 $\psi$는 좌표 S의 x축과 휠좌표 W가 어긋난 각도임.
    • pitch 각도 : 좌표 V의 X축이 회전
    • yaw 각도 : 좌표 Y축으로 회전
    • 직관적으로 V, W, S의 원점은 동일.
  • 중력과 같은 물체는 다른 좌표에 있을 수 있음.

    $$\begin{pmatrix}x_V \\y_V \\z_V\end{pmatrix} _V = \begin{pmatrix}x_W \\y_W \\z_W \end{pmatrix}_W$$

    or

    $$\left [ \vec{i_V}, \vec{j_V}, \vec{k_V}\right ] \begin{bmatrix}x_V \\y_V \\z_V\end{bmatrix} =  \left [ \vec{i_W}, \vec{j_W}. \vec{k_W}\right ] \begin{bmatrix}x_W \\y_W \\z_W\end{bmatrix}$$

• 정의에 따르면 그림 2의 좌표는 좌표 V와 W에 의해 변환됨 (1)

  $$\begin{bmatrix}x_V \\y_V \\z_V\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \theta & -sin \theta \\ 0 & sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_W\\ y_W\\z_W \end{bmatrix}$$

• 비슷하게 그림3에서의 정의는 좌표 W와 S사이에서 좌표 변환이 일어남. (2)

  $$\begin{bmatrix}x_W \\y_W \\z_W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos \psi & 0 & sin \psi \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \psi & 0 & cos \psi \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_S\\ y_S\\z_S \end{bmatrix}$$

  • $\theta$는 좌표 V가 좌표 W로 각도가 회전되었음
  • $\psi$은 좌표 W에서 S로 회전되었음

• 식 2에서 1을 빼면 좌표 V에서 S로의 좌표변환은 다음과 같음 (3)

  $$\begin{bmatrix}x_V \\y_V \\z_V\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos \psi & 0 & sin \psi \\ sin \theta sin \psi & cos \theta & -sin \theta cos \psi \\ -cos \theta sin \psi & sin \theta & cos \theta cos \psi \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_S\\ y_S\\z_S \end{bmatrix}$$

캠버 각도 검사와 오류 분석

• 로컬 중력은 가속도계의 가속도에 의해 감지 될뿐임

• 캠버 각도 측정 중 차량이 수평 플랫폼에서 안정적일 때 좌표 V의 z축에 따라서 있음,

  (즉 $\vec{a} = g \vec{k}v$ 일 때 )

• 가속도계는 가속도 $\vec{a} = a_x\vec{i}_s + a_y\vec{j}_S + a_z\vec{k}_S$를 획득할 수 있음
  • 여기서 ax, ay, az는 각각 좌표 S의 x, y, z 성분의 가속도

  $$\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ g \end{array}\right)_V = \left(\begin{array}{c} a_x\\ a_y \\ a_z \end{array}\right)_S$$

  • 식 3의 $\psi$는 (4)

  $$\psi = -tan^{-1}\frac{a_x}{a_z}$$

  • 그리고 (5)

  $$\theta = tan^{-1} \frac{a_y}{a_z cos \psi -a_x sin \psi}$$

  • 식 4를 5에 대입하면 다음과 같이 됨

  $$\theta = tan^{-1} \frac{a_y}{\sqrt{a^2_x + a^2_z}}$$

  • 제안된 접근방식에서 캠버각도 측정은 좌표 S와 좌표 W 사이의 misaligned 각도 $\psi$와 무관함
  • 또한 misaligned 된 각도는 식 (4)로부터 평가할 수 있음
  • 바퀴의 캠버각도 $\theta$는 가속도계에서 감지된 가속도가 준비되어 있음
    • 식 (6)에서 좌표 S와 W의 X축이 완전히 같은 방향으로 정렬되어 있는지의 여부를 직업 판단할 수 있음.

캠버 검사 시스템과 가속도계 사이의 오정렬된 축에 대한 보정

• 캠버 검사 시스템과 가속도계사이의 오정렬된 축은 보통 MCU기반 캠버 검사 시스템에 관해서 발생함

• 오정렬은 캠버 각도 검사의 정밀도를 악화시킴
  • 오정렬에 대한 교정은 필수적임!

• $x_{k, i}$ $y_{k, i}$, $z_{k, i}$는 가속도계에서 측정된 값을 나타냄
  • k는 x, y, z일 수 있으며, 시스템의 k축 보정에 대한 인덱스임
  • i는 1~N까지의 범위를 가지면서 i번째 set data의 인덱스임
  • N은 측정데이터의 총 수
  • $\vec{x_k}$, $\vec{y_k}$, $\vec{z_k}$는 평균 중력에 의해 제약된 최소제곱성능을 갖는 N데이터의 $x_{k, i}$, $y_{k, i}$, $z_{k, i}$각각에 대한 최적 추정값을 나타냄

• 성능지수 (7)

$$J = \sum^{N}_{i=1}(\overline{x}_k - x_{k, i})^2 + \sum^{N}_{i=1}(\overline{y}_k - y_{k, i})^2 + \sum^{N}_{i=1}(\overline{z}_k - z_{k, i})^2$$

• 평균 중력 제약조건 (8)

$$g(\overline{x}_k,\overline{y}_k,\overline{z}_k) = \overline{x}^2_k+\overline{y}^2_k+\overline{z}^2_k - \frac{(\sum^{N}_{i=1}\sqrt{x^2_{k,i}+y^2_{k,i}+z^2_{k,i}})^2}{N^2} = 0$$

• 식 7, 8은 제약조건이 있는 최적화 문제. 라그랑주(Lagrange) 함수는 다음과 같음.(9)

$$L(\overline{x}_k, \overline{y}_k, \overline{z}_k + \overline{\lambda}_k) = \sum^{N}_{i=1}(\overline{x}_k - x_{k, i})^2 + \sum^{N}_{i=1}(\overline{y}_k - y_{k, i})^2 + \sum^{N}_{i=1}(\overline{z}_k - x_{z, i})^2 + \lambda_k(\overline{x}^2_k+\overline{y}^2_k+\overline{z}^2_k - \frac{(\sum^{N}_{i=1}\sqrt{x^2_{k,i}+y^2_{k,i}+z^2_{k,i}})^2}{N^2})$$

• $\lambda_k$는 라그랑주 승수 . $\frac{\partial L}{\partial \overline{x}_k} = 0, \frac{\partial L}{\partial \overline{y}_k} = 0, \frac{\partial L}{\partial \overline{z}_k} = 0, \frac{\partial L}{\partial \overline{\lambda}_k} = 0$은 (9)번식의 최적 조건 (10),(11),(12)

  $$\overline{x}_k = \frac{\sum^{N}_{i=0}x_{k,i}}{N+\lambda_k}$$

$$\overline{y}_k = \frac{\sum^{N}_{i=0}y_{k,i}}{N+\lambda_k}$$

$$\overline{z}_k = \frac{\sum^{N}_{i=0}z_{k,i}}{N+\lambda_k}$$

• 10~12번을 8번식에 대입한 경우 (13)

$$\lambda_k= N(\frac{\sqrt{(\sum^{N}_{i=1}x_{k,i})^2+\sum^{N}_{i=1}y_{k,i})^2+\sum^{N}_{i=1}z_{k,i})^2}}{\sum^{N}_{i=1} \sqrt{x^2_{k,i}+y^2_{k,i}+z^2_{k,i}}}-1)$$

• 13번 식에 따라 (14), (15), (16)

  $$\overline{x}_k = \frac{\sum^{N}_{i=1}x_{k,i}}{N} \frac{\sum^{N}_{i=1} \sqrt{x^{2}_{k,i}+y^{2}_{k,i}+z^{2}_{k,i}}}{\sqrt{(\sum^{N}_{i=1}x_{k,i})^2+(\sum^{N}_{i=1}y_{k,i})^2+(\sum^{N}_{i=1}z_{k,i})^2}}$$

  $$\overline{y}_k = \frac{\sum^{N}_{i=1}y_{k,i}}{N} \frac{\sum^{N}_{i=1} \sqrt{x^{2}_{k,i}+y^{2}_{k,i}+z^{2}_{k,i}}}{\sqrt{(\sum^{N}_{i=1}x_{k,i})^2+(\sum^{N}_{i=1}y_{k,i})^2+(\sum^{N}_{i=1}z_{k,i})^2}}$$

  $$\overline{z}_k = \frac{\sum^{N}_{i=1}z_{k,i}}{N} \frac{\sum^{N}_{i=1} \sqrt{x^{2}_{k,i}+y^{2}_{k,i}+z^{2}_{k,i}}}{\sqrt{(\sum^{N}_{i=1}x_{k,i})^2+(\sum^{N}_{i=1}y_{k,i})^2+(\sum^{N}_{i=1}z_{k,i})^2}}$$

  • 예를 들어 캠버 검사 시스템의 x축 보정 시 그림4와 같이 시스템이 수직면에 기대어 있는 동안 x축은 수직으로 지면을 향함. 가속도계에서 3축 가속도 측정 데이터를 순차적으로 수집할 수 있음. (17)

    

    $$\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\0 \end{array}\right)_s = \left(\begin{array}{c} x_x\\ y_x \\ z_x\end{array}\right)_A$$

    • A는 $x_x = \frac{\overline{x}_x}{\sqrt{\overline{x}^2_x+\overline{y}^2_x+\overline{z}^2_x}}$, $y_x = \frac{\overline{y}_x}{\sqrt{\overline{x}^2_x+\overline{y}^2_x+\overline{z}^2_x}}$ , $z_x = \frac{\overline{z}_x}{\sqrt{\overline{x}^2_x+\overline{y}^2_x+\overline{z}^2_x}}$일때 좌표 A의 가속도계
    • 시스템의 z축 조정은 다음과 같은 순서로 진행됨 (18)

    $$\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\1 \end{array}\right)_s = \left(\begin{array}{c} x_x\\ y_x \\ z_x\end{array}\right)_A$$

    • vertical 평면에서의 x축과 z축은 캠버 검사 시스템의 back plane을 위해 조정 될 수 있음.
    • x축과 ,z축이 충족되면, 17번 식과 18번 식으로부터 내적연산 결과($x_xx_z + y_xy_z + z_xz_z = 0$)

    $$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\right)_s = \left(\begin{array}{c}x_y\\y_y \\z_y \end{array}\right)_A$$

    • 여기서 ($x_y, y_y, z_y)^T_A = (x_z, y_z, z_z)^T_A \times (x_x, y_x, z_x)^T_A$ . 결과적으로

    $$\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array}\right)_S = \left(\begin{array}{c}a_x^a\\a^a_y \\ a^a_z b\end{array}\right)_A$$

    • 그 후 (19)

    $$\begin{bmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_x &x_y &x_z \\ y_x & y_y &y_z \\ z_x & z_y &z_z \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}a^a_x \\ a^a_y \\ a^a_z \end{bmatrix}$$

  • 즉, 캠버 검사 시스템의 해당 가속도로 변환될 수 있는 $a^a_x, a^a_y, a^a_z$가 가속도에서 측정된 데이터.
    • 따라서 정밀한 보정을 통해 시스템과 가속도계 축의 misaligned를 제거할 수 있음.
    • 또한 캠버각은 식 19로 변환된 가속도계 좌표에 의한 원시 측정 데이터로 식 6으로부터 측정될 수 있음.

에러분석 측정

• 식 (6)에서 캠버각도 $d\theta$의 미분은 다음과 같이 계산됨 (20)

$$d\theta = \frac{1}{\sqrt{a^2_x + a^2_y + a^2_z}}(-sin \theta sin \psi da_x + cos\theta da_y - sin \theta cos \psi da_z)$$

• $da_x, da_y, da_z$는 각각 x, y, z축의 간격임.

• 캠버 검사 시스템에서 감지된 가속도는 로컬 중력(1g)과 같음.

$$a^2_x + a^2_y + a^2_z \cong g^2$$

• 식 (20)은 다음과 같이 변환됨 (21)

$$d\theta \cong \frac{1}{g} (-sin\theta sin \psi da_x + cos\theta da_y - sin\theta cos \psi da_z)$$

• (21)식에서 오른쪽 식의 부호가 모두 +인 악조건에서 방정식 (21)은 다음과 같이 표현함 (22)

$$|d\theta | \cong \frac{1}{g} (|sin\theta sin \psi da_x | +| cos\theta da_y|+ | sin\theta cos \psi da_z|)$$

• 식(22)는 camber측정의 오류가 모든 가속도 축의 간격에 높게 의존함을 설명함.

• 식(22)의 악조건에서의 최소 측정 에러는 $\theta = 0$일때 $da_y$와 중력의 비율과 같음 (23)

$$\underset{\theta \psi}{min|d\theta|} = \frac{|da_y|}{g}$$

• 일반적으로 가속도계의 3축 간격은 동일하지 않음

• 식 (23)은 측정 오류를 줄이기 위해 가속도계의 최선의 간격 축이 좌표 S의 y축에 가깝게 정렬되어야함을 의미하는것으로 해석 가능함.

• 식 (22)의 측정오차는 캠버 각도 및 오정렬 또는 좌표 V에 대한 좌표의 attitude에 따라 달라짐.
  • 식 (22)를 기반으로 그림 5는 가속도 측정의 악조건 상태인 $da_x = da_y = da_z = \pm 4mg$(4mg는 가속도계의 감도임)의 경우 $\theta$와 $\psi$의 차이의 캠버각도 측정 오류를 그림

  

  • 방정식 (23)에서 $\theta = 0$일때 최소 측정 오차는 0.2292∘
  • 캠버각도는 $\theta \cong 0$ 일때 0 근처임